MAGNITUDES Y LEYES DE LA DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

Al tratar los diagramas dinámicos, hemos introducido el cuadrivector, P, que se relaciona con el impulso y la energía con la energía total de una partícula. Globalmente, el cuadrado del módulo de este cuadrivector es proporcional a la masa, m de la partícula. Desglosado en sus componentes, se relaciona con la energía de la partícula, E, y su impulso lineal o cantidad de movimiento, p.

De la propia definición del cuadrivector, P, se deducen directamente las definiciones de impulso y de la energía, así como la relación entre la velocidad y estas magnitudes dinámicas, tal como se puede comprobar leyendo el documento vinculado.

Por otra parte, al usar que el cuadrado del módulo de P es invariante, obtenemos una relación entre la masa, el impulso y la energía de una partícula que llamamos ley fundamental de la dinámica relativista. Manipulando esta ley fundamental se obtienen el resto de expresiones que recogemos en la tabla adjunta. Así, por ejemplo, tenemos que en el SRI propio de la partícula, su impulso es cero, de donde se deduce la relación de equivalencia entre la masa y la energía (propia) Del mismo modo, podemos aplicar la ley fundamental a entidades sin masa (fotones), lo que conduce a la relación entre la energía y el impulso lineal de la luz.

En la animación adjunta hemos representado el comportamiento dinámico de un sistema de dos partículas de igual masa en movimiento relativo. Mientras las partículas se separan, se dibujan los cuadrivectores impulso-energía en el SRI respecto del cual se alejan y en los SRI propios de cada una de ellas. Se comprueba así que la masa del sistema de las dos partículas libres (módulo del cuadrivector impulso-energía del sistema) es mayor que la suma de las masas de dichas partículas (suma de módulos de los cuadrivectores).

Haz clic en la imagen para descargar esta animación. Si no lo tienes instala Modellus 2.5 (32 bits) o Modellus 3 (64 bits)

Solució

Una partícula choca cargada contra otra de igual masa y el mismo tipo de carga, inicialmente en reposo. Obtened el ángulo que forman las trayectorias de salida de las partículas aplicando: a) La Mecánica de Newton (suponiendo que la colisión es elástica). b) La Dinámica Relativista.

(5-2 p. 188) En l’experiment pensat per Alväger i col·laboradors s’observa la desintegració dels mesons π^o neutres per a donar lloc a fotons d’alta energia, γ. Aquests mesons π^o tenen energies entre 6,0 i els 18,0 GeV, energies en repòs de 135,1 MeV i vides mitjnes pròpies de 2·10^-16 s.

(a) Quin és l’interval de velocitats dels mesons π^o?

(b) Quin és l’interval en què estaven compreses les vides mitjanes en el sistema del laboratori?

(c) Quina distància recorren abans de desintegrar-se?

La velocitat dels raigs gamma pugué determinar-se creant els mesons π^o, i en conseqüència els raigs gamma, en ràfegues i mesurant a continuació el temps que invertien els raigs gamma de cada ràfega a recórrer una distància determinada en una certa direcció. Si aquesta distància fou de 60 m en el sistema de laboratori, quin seria aleshores el temps de vol per als raigs gamma que es mouen a la velocitat c?

(6-1, p. 229) Suposem que un fotó té una energia de 200 MeV i es desplaça en la direcció de l’eix x. Suposem que un altre fotó té una energia de 100 MeV i la direcció la del eix y. (a) Quina és l’energia total d’aquest sistema?, (b) Quina és l’impuls total? (c) Si una partícula aïllada tingués aquesta energia i impuls totals, quina seria la massa de la partícula? (d) En quina direcció es mouria? (e) Amb quina velocitat?

(6-2, p. 229) En determinat sistema de referència s’observa que una partícula té una energia total de 5 GeV i un impuls de 3 GeV.

(a) Quina és l’energia d’aquesta partícula en un sistema en el que l’impuls val 4 GeV?

(b) Quina serà la massa de la partícula?

(c) Quina és la velocitat relativa dels dos sistemes de referència?

(6-3, p. 229) Una partícula de massa m i energia cinètica 2mc² xoca contra una altra partícula en repòs la massa de la qual és 2m i roman unida a ella. Calculeu la massa en repòs M de la partícula composta.

(6-4, p. 230) (a) Un fotó d’energia E_f xoca amb una partícula estacionària de massa m i és absorbit. Quina és la velocitat de la partícula composta que resulta?

(b) Una partícula amb una massa m que es mou a una velocitat de 4c/5 xoca amb una partícula semblant que està en repòs i es forma aleshores una partícula composta. Quina és la massa de la partícula composta i quina és la velocitat d’aquesta?

(6-8, p. 231) Una nau espacial porta una mena de vela que rep l’empeny d’un raig làser dirigit cap a ella des de la Terra. Si la vela es perfectament reflectora, calculeu la massa de la llum que cal per accelerar un vehicle de massa M fins un valor determinat de g.

(6-9, p. 231) Un làser amb una massa de 10 kg està situat en l’espai lliure i apunta a la Terra. El làser emet contínuament 10²⁰ fotons/s amb una longitud d’ona de 600 nm, mesurada en el sistema propi. En t = 0 el làser es troba en repòs respecte de la Terra.

(a) Inicialment, quanta energia radiant es rep a la Terra en la unitat de temps?

(b) La radiació emesa cap a la Terra fa que el làser s’allunye del nostre planeta. Quina serà la velocitat del làser relativa a la Terra després que hagen transcorregut 10 anys (temps del làser)?

(c) En l’instant en què el làser es mou a una velocitat βc relativa a la Terra, quant menor és la velocitat a la que es rep l’energia en la Terra respecte a la velocitat original quan β = 0? Calculeu el valor per a t = 10 anys (temps del làser).

(d) Indica la forma en què un observador situat en la Terra pot explicar, aproximadament, per què la velocitat de recepció disminueix contínuament en funció de la conservació de l’energia.

(6-11, p. 232) El messó neutre p^o es descompon en dos raigs g, i no res més. Si un p^o, la massa del qual és de 135 MeV, es mou amb una energia cinètica d’1 GeV:

(a) Quines són les energies dels raigs g si el procés de desintegració fa que siguen emesos en sentit oposat segons la trajectòria original del p^o?

(b) Quin angle formen els raigs g si són emesos formant un angle igual respecte de la direcció del moviment del p^o?

(6-12, p. 232) Un antiprotó p- amb una energia cinètica de 2/3 GeV xoca contra un protó p que es troba en repòs al laboratori. S’anihilen mitjançant la reacció p⁺ +p-> γ₁ + γ₂, és a dir, es creen dos fotons gamma que marxen en sentit directe o invers segons la línia que recorre l’antiprotó en incidir. La massa del protó i antiprotó suposem que és d’1 GeV cada una.

(a) Quines són les energies que tenen els fotons?

(b) En quina direcció marxen cadascun dels fotons?

(c) Quina energia té cada un dels fotons mesurada en el sistema de referència fix a l’antiprotó p- incident?

(6-13, p. 232) Un positró amb una energia cinètica de 0,51 MeV xoca inelàsticament amb un electró en repòs i es crea un àtom de positroni que retrocedeix lliurement. L’electró i el positró que formen el positroni s’anihilen en vol creant dos fotons g.

(a) Quina és la velocitat de l’àtom de positroni?

(b) Quina és l’energia màxima possible per a un dels fotons produïts mitjançant aquest procés d’anihilació?

(6-14 p. 232) Demostreu que els processos que s’indiquen a continuació són impossibles des del punt de vista dinàmic:

(a) Un fotó xoca amb un electró en repòs i transfereix tota l’energia a l’electró.

(b) Un fotó situat en l’espai lliure es transforma en un electró i un positró.

(c) Un positró i un electró en repòs es destrueixen s’anihilen  creen un únic fotó.

(6-15, p. 232-3) (a) Si un protó amb una energia cinètica de 437 MeV xoca inelàsticament amb un protó en repòs i els dos protons reboten amb energies iguals, quin és l’angle existent entre tots dos? (b) Si el protó que entra té una energia total de 33 GeV, quin s l’angle que formen tots dos protons resultants?

(6-16 p. 233) La teoria usual de l’efecte Compton considera el cas d’un electró lliure en repòs que es abastat per un fotó que es dispersat en un fotó d’energia menor. Suposem que un fotó d’energia Ef, xoca amb un electró en moviment de massa m, com indica la figura. Quina velocitat inicial tindrà l’electró si, com a conseqüència del xoc, el fotó retrocedeix amb la mateixa energia Ef que el fotó incident?

(6-18 p. 233) (a) Un fotó d’energia hυ xoca elàsticament amb un electró en repòs. L’energia del fotó després del xoc és de hυ/2 i marxa formant un angle de 60^o amb la direcció original. Quin és el valor de υ? Quin tipus de fotó n’és?

(b) Un fotó amb una energia hυ xoca amb un àtom excitat que es troba en repòs. Després del xoc el fotó continua tenint una energia hυ, però el sentit del moviment experimenta un canvi de 180^o. Si l’àtom es troba en l’estat fonamental després del xoc, quina és l’energia d’excitació inicial?

(6-19 p. 233) Un fotó d’energia gran xoca i és dispersat per un protó que es troba inicialment en repòs i pot retrocedir lliurement. El protó retrocedeix formant un angle de 30^o amb una energia cinètica de 100 MeV.

(a) Quina era l’energia del fotó incident?

(b) Quina és la direcció i l’energia del fotó dispersat?

(7-1, p. 260) La massa del messó K és m_Kc² = 494 MeV i la del messó p, m_pc² = 137 MeV. Un messó K que recorre el laboratori es descompon en duos messons p.  Un messó roman en repòs.

(a) Quina és l’energia de K?

(b) Quina era l’energia de l’altre messó p?

(7-2 p. 260) Un raig gamma, γ, abasta un electró en repòs i crea una parella electró positró:

γ +  e^-                e^- + e⁺ + e^-

Quina serà l’energia mínima del raig γ que ha fet possible aquest procés?

(7-3, p. 261) Suposem que un accelerador pot subministrar als protons una energia cinètica de 200 GeV. La massa del protó, m, és 0,938 GeV. Calculeu la màxima massa possible, M, d’una partícula X que pot produir-se per la col·lisió d’un d’aquests protons d’elevada energia amb un protó en repòs segons el procés següent:

p  +  p               p   +   p   +  X

(7-6 p. 261) L’energia cinètica E_c d’un sistema en coordenades de laboratori età relacionada amb l’energia E_c^* en el sistema del centre de masses en el cas no relativista mitjançant l’expressió E_c=E_c^*+MV²/2, a on M és la massa total del sistema i V la velocitat del centre de masses. Quina és l’expressió anàloga per al cas relativista? Demostreu que es redueix al cas anterior si totes les velocitats són molt menors que c.

(7-7, p. 261) Un fotó d’energia E marxa cap a l’origen O d’un sistema de coordenades K formant un angle α amb l’eix y, com s’indica a la figura. Fent ús de les transformades de Lorentz Einstein per a l’energia i l’impuls calculeu l’energia del fotó, E’, en un sistema K’ en el qual s’observa que el fotó recorre cap avall l’eix y’.

(7-9 p. 262) El ciclotró és una màquina emprada per accelerar els ions positius a energies d’uns pocs MeV (veure figura). Les D són cuirasses metàl·liques que fan pantalla als camps elèctric, però no els magnètics. Existeix, per tant, un camp magnètic efectiu B en tot l’interior del recipient metàl·lic en el que s’ha fet el buit i un camp elèctric altern, sinusoïdal, en la petita obertura entre les D. Quan aquest camp es troba en fase amb els ions, aquests reben un impuls cada semicercle. Aquests impulsos augmenten l’energia i, per tant, el radi de l’òrbita dels ions fins que, finalment, són expulsats per la finestra.

(a) Quina és la freqüència a la qual els ions recorren el ciclotró? Demostreu que la resposta és independent de l’energia cinètica dels ions si v<<c. Obteniu el resultat numèric corresponent al cas dels protons si suposem que B = 1,5 T.

(b) Si el màxim diàmetre que pot utilitzar-se en l’interior de les D és 60 cm, quines són l’energia cinètica màxima i la velocitat màxima que poden assolit el protó?

(c) Si els protons reben un impuls de 10⁵ volt cada vegada que travessen la separació entre les dues D, quantes revolucions efectuaran abans d’escapar per la finestra Quant de temps dura el procés sencer?

(c) Quina dificultat tècnica sorgeix si el màxim diàmetre que es pot fer servir augmenta fins a 6 m, per exemple?