| |
|
|
|
 |
DIAGRAMAS ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DIAGRAMAS ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI |
|
|
Llamamos suceso a acontecimiento físico a
un hecho puntual que ocurre en un cierto lugar y un
cierto instante, sin que llegue a transcurrir tiempo.
Desde el punto de vista de la cinemática, un
suceso se determina dando en un sistema de referencia
inercial (SRI) cuatro valores: las coordenadas
espaciales (x, y, z) que proporcionan su posición y la
coordenada temporal, t. Por consiguiente, el modo de
representar sucesos en un sistema de ejes de coordenadas
debería ser construir un diagrama posición-tiempo de
cuatro dimensiones. Para hacer la representación más
sencilla reducimos el análisis a una única coordenada
espacial, x, y la coordenada temporal, t. Tenemos así
representaciones de sucesos y de procesos físicos sobre
dos ejes (x, t) similares a las gráficas del movimiento
que se utilizan de forma habitual para describir
movimientos en la
física clásica, salvo una diferencia: en relatividad es
costumbre representar la posición en el eje vertical
(ordenadas) y el tiempo en el eje horizontal (abcisas),
tal como indica la figura adjunta en la que se ha
representado un suceso S de coordenadas (xo,
to) |
|
 |
|
|
|
|
Al exigir el
cumplimiento de los postulados de la relatividad
especial, los diagramas espacio-tiempo adquieren un
perfil particular y proporcionan unas conclusiones
coherentes con esta teoría y completamente diferenciadas
de las predicciones de la mecánica clásica. |
|
 |
|
Considérese la
representación de una haz de luz emitido por una
bombilla situada en el origen de coordenadas de
un cierto SRI K (x, t). De acuerdo con las predicciones
relativistas la onda electromagnética
correspondiente a ese haz luminoso se propaga en
todas las direcciones a la velocidad c. Por lo
tanto, la representación de la historia del haz
en el diagrama ha
de reflejar el avance de dos extremos del mismo,
H1 y H2, a la velocidad c, respectivamente en el
sentido positivo y en el sentido negativo del
eje X. Graduando el eje de
tiempos como ct (esto se hace con objeto de usar
la dimensión espacial y una misma unidad en
todos los ejes), esta representación queda como
se muestra en la figura adjunta (a la izquierda
de este texto) Esta representación tiene más
importancia de la que pueda parecer a primera vista,
debido a que c, además de ser la velocidad de la
luz, es el límite superior de velocidad que
ningún objeto material puede alcanzar. |
|
|
|
|
Así pues, cuando trazamos la
curva representativa de otro movimiento cualquiera que
también comience ahí, como por ejemplo, el de una persona que en ese lugar encendió la
lámpara, hemos de tener en cuenta que dicha curva se
tiene que ubicar en el interior de la zona que delimitan
las historias de las puntas H1 y H2 del haz de luz pues
su velocidad siempre es inferior a la velocidad límite
c. Además, su pendiente, respecto del eje vertical de
tiempos, ha de tener en todos los puntos un valor
inferior a las pendientes de las rectas OH1 y OH2. Para
practicar este concepto fundamental se puede descargar
la animación adjunta que permite mover a nuestro "Einstein"
viajero y comprobar que la representación de su viaje
queda necesariamente dentro del "cono de luz". Entrando en la
ventana del modelo físico-matemático de la animación
se constata que este comportamiento es consecuencia
de la existencia del límite superior de velocidades, c.
|
|
Para ver la animación descarga el
archivo zip y abre en tu ordenador el archivo mdl. Si no
lo tienes instala
Modellus. |
|
|
|
|
El matemático
Herman Minkowski, antes profesor de Einstein y luego
admirador de su obra,
fue
quien primero planteó estos
diagramas y mostró sus potentes aplicaciones.
|
|
|
| |
 |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
INTERVALO INVARIANTE ESPACIO-TIEMPO |
|
| |
|
|
| |
|
Tomando como punto de partida
las
leyes de transformación
de Lorentz-Einstein, se demuestra que
la cantidad ds, definida de tal modo que
(ds)2
=(cdt)2-(dx)2-(dy)2-(dz)2,
es una magnitud invariante
en relatividad.
Es decir, esta cantidad tiene el mismo
valor
en cualquier
SRI
y se escribe igual en todos ellos.
Atribuimos
a esta
magnitud
invariante,
ds,
el significado de un intervalo o una
distancia en el espacio-tiempo relativista.
Atendiendo a
esta interpretación, decimos
que un vector de cuatro componentes,
ds,
con origen
en un punto (x1, y1, z1,
ct1) y final en el punto (x2,
y2, z2, ct2)
del espacio-tiempo cumple que el cuadrado de su
módulo (ds)2 es una cantidad absoluta
o invariante en valor y en forma.
Lo llamamos cuadrivector espacio-tiempo.
En la figura
adjunta se
representa
un
cuadrivector
espacio-tiempo considerando
una sola componente espacial,
x. |
|
 |
|
|
|
|
Este concepto evidencia que, lo que describe los
hechos en relatividad, con independencia de las
mediciones particulares en cada SRI, son
intervalos en el espacio-tiempo de cuatro
dimensiones. Las distintas longitudes y
duraciones que se obtienen en cada SRI
particular, indican diferentes maneras de
descomponer un mismo intervalo cuatri-dimensional
en sus proyecciones de espacio (tres
dimensiones) y tiempo (la otra dimensión).
Teniendo en cuenta este concepto, hechos como la
dilatación del tiempo o la contracción de la
longitud, se pueden mostrar de forma muy
sencilla y visual mediante el manejo de los
diagramas y la representación en ellos del
intervalo invariante espacio-tiempo. |
|
|
|
|
| |
|
|
|
Para hacer
correctamente estas representaciones hay que
tener el signo negativo que aparece en la
expresión del cuadrado del módulo (invariante)
del cuadrivector espacio-tiempo:
(ds)2
=(cdt)2-(dx)2 |
|
|
|
Para usar la animación descarga el
archivo zip y abre en tu ordenador el archivo mdl. Si no
lo tienes instala
Modellus |
|
Este signo negativo aporta a
los cuadrivectores una métrica especial, que
hemos de tener en cuenta al representarlos.
En la animación
adjunta se representa el viaje de una nave
tripulada y, en un diagrama de Minkowski, el
cuadrivector invariante espacio-tiempo según el
punto de vista del viajero y de un observador en
reposo. También se representan los
cuadrivectores correspondientes, poniendo en evidencia la diferencia entre el
tiempo propio y el tiempo impropio del viaje. Entrando en el modelo físico-matemático de la
animación, comprobamos que todo esto es consecuencia de
la invariancia del intervalo espacio-tiempo. |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
DIAGRAMAS MÚLTIPLES |
|
|
 |
Después de dibujar los ejes (x, ct) del diagrama
espacio-tiempo, según el punto de vista de un SRI K,
podemos incorporar en el mismo dibujo los ejes (x', ct')
de otro SRI K', que se desplace con una velocidad v
respecto de K (dibujo izquierda)
Para hacerlo tenemos
en cuenta que la historia del origen O' del SRI K' es,
según el punto de vista del SRI K, el eje de tiempos ct'.
Esto es así porque dicho origen O' está, para todo
tiempo t', en la posición x'=0. Una vez dibujado ese eje
temporal ct', utilizamos el hecho de que la luz tiene la
misma velocidad c en ambos SRI para añadir al diagrama
el eje espacial x'. Un haz de luz que se emita en el
instante t=t'=0 en el que coinciden ambos orígenes,
x=x'=0, tiene la velocidad c en ambos SRI. Por ello, el
eje espacial x' ha de ser simétrico al eje temporal
ct',
para que el extremo del haz de luz, H1, sea la bisectriz
del diagrama respecto de los ejes de ambos SRI (dibujo
derecha) |
 |
|
|
|
|
Si no ves la
animación instala
Modellus |
|
Utilizando este procedimiento
se pueden incorporar cuantos SRI se desee al
diagrama. El eje temporal de un SRI K’ que
avance en sentido positivo del eje x del SRI K
se inclina hacia la derecha del dibujo en esta
representación abstracta (tiene una inclinación
mayor o menor, respecto del eje temporal ct del
SRI K, según sea mayor o menor la velocidad del
SRI en cuestión respecto de K). Para otro SRI
K'' que avance en sentido negativo del eje x del
SRI K, su eje temporal se inclina hacia la
izquierda del dibujo. En todos los casos, el
correspondiente eje espacial se dibuja
respetando el hecho de que los extremos del haz
de luz a que nos hemos referido en el párrafo
anterior sean bisectriz de los ejes de los SRI.
La animación Modellus adjunta (a la izquierda)
permite practicar el procedimiento de
construcción de los diagramas múltiples. |
|
|
|
|
Para
profundizar en la construcción de diagramas y
ver una
forma de calibrarlos que permite obtener consecuencias
cuantitativas de estas representaciones,
puedes consultar el
documento vinculado. |
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
EJERCICIOS SOBRE DIAGRAMAS ESPACIO-TIEMPO |
| ENUNCIAT |
Solució |
|
(3-8
p. 97)
Dos sistemes de coordenades inercials K i K’ es
mouen amb una velocitat c/2 un respecte de
l’altre. Dibuixeu un diagrama de Minkowski on es
representen tots dos sistemes (preneu els eixos
x i ct perpendiculars entre ells per a K).
(a)
Dibuixa les hipèrboles de
calibrat que permeten definir les distàncies al
llarg dels eixos de x, x’, ct i ct’.
(b)
Situeu en el diagrama els
esdeveniments puntuals següents:
(1)
x=1, ct=1;
(2) x’=1, ct’=1;
(3) x’=2, ct’0;
(4) x=0, ct =2.
Mitjançant el diagrama obtingut
determineu les coordenades en K’, o en K,
corresponents als esdeveniments anteriors. |
 |
|
(4-18
p. 141)
Es donen a continuació les coordenades d’espai i
de temps de dos esdeveniments. Trobeu l’interval
d’espai-temps entre els esdeveniments 1 i 2 en
cada cas. Considerem cada un d’aquests
esdeveniments com independents, doneu una
resposta a les preguntes següents:
(a)
Pot existit una connexió causal
entre tots dos esdeveniments?
(b)
Existeix un sistema en el qual
tots dos esdeveniments poden ser enregistrats
com simultanis? En cas afirmatiu, quin serà
aquest sistema?
|
Esdeveniment 1 |
Esdeveniment 2 |
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
t1 |
x2 |
y2 |
z2 |
t2 |
|
Cas A |
0,3m |
0,5m |
0 |
2·10-9s |
0,4m |
0,7m |
0 |
3·10-9s |
|
Cas B |
0,7m |
0,5m |
0 |
5·10-9s |
0,4m |
0,6m |
0 |
4·10-9s |
|
|
|
(5-10,
p.184-5)
Una font de polsos de radar es
troba en repòs en el punt x = 0. Un gran
meteorit es mou amb una rapidesa constant v
cap a la font. En t = 0 es troba en el
punt x = - L. Un primer pols de radar es
emés per la font en t = 0 i un segon pols
en t = to ( to <
L/c). Els polsos són reflectits pel meteorit
i tornen a la font.
a)
Dibuixa un sistema de coordenades
com el que es mostra en la figura i representa
la posició en funció del temps, és a dir, la
línia de l’univers, per a (1) la font, (2) el
meteorit, (3) els dos polsos que surten, (4) els
polsos reflectits.
b)
Amb o sense l’ajut del diagrama
trobeu l’interval de temps entre les arribades a
x = 0 dels dos polsos reflectits.
c)
Amb o sense l’ajut del diagrama
calculeu l’interval de temps entre les arribades
al meteorit dels dos polsos emesos per la font,
mesurat en el sistema en repòs del meteorit. |
|
|
Los enunciados de todos los problemas proceden del libro de
A.P. French, Relatividad especial (Reverté;
Barcelona) |
|
|
|
| |
|
|
| |
Volver al Departamento de Física y Química |
|
|
