| |
|
|
|
|
 |
LEYES DE TRANSFORMACIÓN
RELATIVISTAS |
|
|
|
|
| |
 |
LEYES DE
TRANSFORMACIÓN RELATIVISTAS |
|
| |
|
EJERCICIOS DE MANEJO
DE LAS LEYES DE TRANSFORMACIÓN RELATIVISTAS |
|
|
|
|
LEYES DE
TRANSFORMACIÓN RELATIVISTAS |
|
|
El estado y el tipo de movimiento de
cualquier objeto
depende del sistema de referencia
(SR) adoptado
para estudiarlo.
Por ejemplo, un satélite con un movimiento
circular alrededor de la Tierra, describe una
trayectoria mucho más complicada
respecto del Sol, tal como enseña la animación adjunta.
El reto de la
relatividad fue la búsqueda de unas leyes únicas para el
estudio de los procesos físicos y, al mismo tiempo,
capaces de proporcionar descripciones diferentes de
cualquier movimiento según cual sea el SR que se adopte.
Observadores situados en SR
distintos (en este ejemplo, en la Tierra o en el Sol)
utilizarán esas leyes compartidas para estudiar cada
movimiento (como el del satélite), pero, al hacerlo,
cada uno obtendrá un valor distinto de magnitudes
relativas, como son la posición y la velocidad. |
|
Haz clic en la imagen para
descargar esta animación. Si no lo tienes instala
Modellus
2.5 (32 bits) o
Modellus 3 (64 bits) |
|
|
|
|
Además de poseer esa capacidad extraordinaria de
adaptación de las leyes a cada SR, una teoría
relativista debe incluir un conjunto adicional de
ecuaciones adecuado para trasladar los valores de las
magnitudes que caracterizan a cada movimiento al pasar
de un SR a otro. ¿Cómo podrían, si no, sus usuarios (en
SR distintos) intercambiar sus datos, mediciones,
predicciones,..? En la relatividad especial, este
conjunto de ecuaciones son las leyes de transformación Lorentz-Einstein.
|
| |
|
 |
|
|
Las ecuaciones de Lorentz-Einstein relacionan
las coordenadas de posición y tiempo de un móvil
en el SRI, K (x, y, z, t) y en el SRI, K' (x',
y', z', t'), con velocidad, v, respecto de K. |
|
|
|
Tomando derivadas en estas ecuaciones se
obtienen las leyes de transformación de las
velocidades. |
|
|
|
| |
|
El factor gamma que aparece en las leyes de
transformación depende del cociente entre la velocidad
relativa de los SR, v, y la velocidad de la luz, c,
según expresa la fórmula adjunta. Este factor tiende a la unidad cuando
la velocidad de la luz es pequeña comparada con la
velocidad, c. En este caso, las leyes de transformación
relativistas apenas se diferencias de las de la mecánica
clásica. Las experiencias cotidianas, como un viaje en
tren o en avión, se producen con velocidades mucho
menores que c. Para que se pongan de manifiesto
propiedades relativistas diferenciadas de las
aproximaciones de la física clásica, la
velocidad relativa entre los SRI tiene que
alcanzar valores muy elevados (ver figura
adjunta) |
|
|
|
|
|
|
|
Estas grandes velocidades son habituales en la física
nuclear y la física de partículas. Las radiaciones y los
"vuelos" de partículas subatómicas alcanzan velocidades
ordinarias próximas a la velocidad de la luz, c. |
|
|
| |
 |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
EJERCICIOS DE MANEJO DE
LA LEYES DE TRANSFORMACIÓN
RELATIVISTAS |
| ENUNCIAT |
Solució |
|
(3-5
p. 97)
Un esdeveniment ocorre en x’ = 60 m, t’ = 8·10-8
s en un sistema K’(y’ = 0, z’ = 0). El sistema K’ té una
velocitat 3c/5 segons l’eix de les x respecte d’un
sistema K. Els orígens de K i K’ coincideixen per a t =
0, t’ = 0. Quines són les coordenades espai temps de
l’esdeveniment en K? |
 |
|
(3-6
p. 97)
Les coordenades espai temps de dos esdeveniments
mesurades en un sistema K són les següents:
Esdeveniment 1: x1 = xo,
t1 = xo/c (y1 = 0,
z1 = 0)
Esdeveniment 2: x2 = 2xo,
t2 = xo/2c (y2 = 0, z2
= 0)
(a) Hi ha cap sistema on aquests
esdeveniments ocorren en el mateix instant. Trobeu la
velocitat d’aquest sistema respecte de K.
(b) Quin és el valor de t per al qual tots
dos esdeveniments ocorren en el nou sistema de
referència? |
|
|
(3-7
p. 97)
El sistema K’ té una velocitat v = 3c/5 relativa a K.
S’ajusten els rellotges de tal forma que t = t’ = 0 per
a x = x’ = 0.
(a) Un esdeveniment ocorre en K per a t =
2·10-7 s en un punt per al qual x = 50 m. En
quin instant ocorre l’esdeveniment en K’?
(b) Si un segon esdeveniment ocorre en (10 m,
3·10-7 s) en K, quin és l’interval de temps
entre els dos esdeveniments mesurat en K’? |
|
|
(4-1
p. 137)
Dos esdeveniments ocorren en el mateix lloc en un
determinat sistema de referència i es troben separats
per un interval de temps de 4 s. Quina és la separació
espacial entre aquests dos esdeveniments en un sistema
inercial on els esdeveniments es troben separats per un
interval de temps de 6 s? |
|
|
(4-2
p. 137)
Dos esdeveniments ocorren en el mateix instant en un
sistema K i estan separats per una distància d’1 km
segons le’ix X. Quina és la diferència de temps entre
aquests dos esdeveniments mesurada en un sistema K’ que
es mou a velocitat constant segons X i en quin la
separació espacial resulta ser de 2 km en mesurar-la? |
|
|
(4-3,
p. 137)
Un observador no té una visió completa d’allò que ocorre
en tots els punts d’un sistema de referència en un
instant donat; només coneix el que succeeix en aqueix
instant en el punt on es troba. Suposem que una barra
homogènia d’un metre de longitud dirigida segons la
direcció x es mou segons l’eix de les x amb una
velocitat 0,8c, el centre de gravetat de la qual passa
per l’origen en t = 0. Suposem que un observador està
situat en el punt x = 0, y = 1 m.
(a) En
quin punt del sistema de referència de l’observador es
troben els punts extrems de la barra en t = 0?
(b) Quan
veu l’observador que el punt mitjà de la barra passa per
l’origen?
(c) A
on aparenten estar els extrems en aquest instant? |
|
|
(5-1,
p. 182)
Considerem tres galàxies A, B i C. Un observador situat
en A mesura les velocitats de C i B i troba que s’estan
movent en direccions oposades i cada una d’elles amb una
velocitat de 0,7c relativa a ell. Per tant, d’acord amb
les mesures en el seu sistema la distància entre elles
augmenta a la velocitat 1,4c.
(a) Quina és la velocitat
d’A observada en B?
(b) Quina
és la velocitat de C observada en B? |
|
|
(5-2,
p. 182)
Un messó Ko en reòs es desintegra per a crear
un messó
p+
i un messó
p-
,
cada un dls quals té una velocitat de 0,85c. En
desintegrar-se un messó Ko que marxa a una
velocitat de 0,9c,
(a) Quina és la màxima
velocitat que poden assolit cada un dels messons
p?
(b)
Quina és la velocitat mínima? |
|
|
(5-3,
p. 183)
Considerem dos sistemes de referència, K i K’,
que es mouen a una velocitat V (<c) un
respecte de l’altre i segons l’eix x.
(a) Si
determinat objecte es mou amb una velocitat u (u<c)
respecte de K i una velocitat u’ respecte
de K’, utilitzeu les equacions de composició de
velocitats (tridimensionals) per a demostrar que u’<c.
(b) Si
u = c, demostreu que u’ = c.
(c) Si
V=3c/4, i u’ té les components u’x=
-2c, u’y=u’z=0, demostreu que
les components de u són ux=5c/2, uy=uz=0. |
|
|
(5-4,
p. 183)
Dos neutrons, A i B, s’apropen entre ells al llarg d’una
línia recta. Cada un té una velocitat constant
βc
mesurada al laboratori. Demostreu que l’energia total
del neutró B observada en el sistema en repòs del neutró
A ve donada per
|
|
|
|
on M és la massa del neutró |
|
|
|
(5-6,
p. 183)
Les mesures fetes en dos sistemes, K i K’,
estan relacionades per les transformades de Lorentz
Einstein usuals, amb V=0,6c. En t’ = 10-7
s, una partícula ix del punt x’ = 10 m amb una
velocitat constant u’ igual a –c/3. Passa de cop i volta
al repòs en l’instant t’ = 3·10-7 s
(totes les mesures fetes en K’). Trobeu,
mesurades en K:
(a) La velocitat de la
partícula durant el recorregut.
(b) La distància
recorreguda. |
|
|
(5-8
p. 184)
Considerem dos sistemes de referència inercials, K
i K’, relacionats de la manera usual.
(a) En
t = 0 un fotó ix de K i marxa en una
direcció que forma un angle de 45o amb l’eix
de les X. Quin angle forma la trajectòria
d’aquest amb l’eix de les X’ en K’?
(b) Repetiu
l’apartat anterior per al cas d’un cos de massa m que es
mou en K amb una velocitat u.
Una vareta que roman en repòs en K
forma un angle de 45o amb l’eix de les X.
Quin angle forma amb l’eix de les X’? |
|
|
Los enunciados de todos los problemas proceden del libro de
A.P. French, Relatividad especial (Reverté;
Barcelona) |
|
|
| |
|
|
| |
Volver al Departamento de Física y Química |
|
|
