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MOVIMIENTOS
EN EL ESPACIO-TIEMPO |
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EL ESPACIO-TIEMPO |
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La existencia de un límite superior de
velocidad, c (la velocidad de la luz en el vacío), nos introduce
a un concepto central del mundo relativista, al que llamamos
espacio-tiempo. Piénsese en un vehículo con una velocidad muy
elevada. El cociente entre los desplazamientos espaciales que
realice y los correspondientes intervalos de tiempo es su
velocidad media en cada intervalo de tiempo considerado. Como el
vehículo no puede alcanzar el límite superior de velocidad,
este cociente no puede tomar cualquier valor arbitrariamente
grande. Por tanto, las distancias espaciales y los intervalos
temporales correspondientes del movimiento de ese objeto no
pueden tener valores independientes entre sí. Los intervalos de tiempo y
las distancias espaciales son interdependientes, es decir, espacio y tiempo son conceptos
interrelacionados y
dependen del sistema de referencia (SR), en lugar de ser
absolutos como suponía la mecánica newtoniana y nuestro "sentido
común".
Se ha detener en cuenta además que la
velocidad es una magnitud relativa, es decir, diferente según el SR
adoptado. Un cuerpo en reposo encima de la superficie de la
Tierra tiene una velocidad aproximada de 30km/s respecto del
Sol, de unos 250km/s respecto de la galaxia más próxima a la
nuestra y de miles de km/s respecto de otras galaxias. Por
tanto, como la velocidad de un cuerpo no es una propiedad de él,
sino una magnitud que depende del SR, la relación de
interdependencia entre los desplazamientos espaciales y los
correspondientes intervalos de tiempo, es una propiedad del
mundo (del espacio-tiempo)
En resumen, la relatividad especial se
sustenta sobre un nuevo concepto del espacio-tiempo, distinto
del tradicional concepto de un espacio en el que se suponía que
se podían medir
distancias o longitudes absolutas y donde además se consideraba
que se podían
referir los procesos a un tiempo externo y también absoluto. El
espacio-tiempo relativista tiene que contemplar una dependencia
mutua entre las longitudes y los tiempos, como exige la
existencia de un límite superior de velocidades. |
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DILATACIÓN
DE TIEMPOS Y CONTRACCIÓN DE LONGITUDES |
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Una consecuencia del entramado
espacio-tiempo es la dilatación de tiempos. Para deducirla
usamos relojes de luz: unos artificios imaginarios de
forma cilíndrica que tienen en su base y en su tapa de
dos espejos plano-paralelos y marcan una unidad de
tiempo “tic-tac” cada vez que un haz luminoso viaja de
la base a la tapa (dónde se refleja) y vuelve otra vez a
la base.
Hemos colocado (Dibujo 1) uno
de estos relojes, de altura L en un sistema de
referencia inercial (SRI) K’ (que se desplaza con
velocidad respecto de otro SRI K) El desplazamiento
realizado por el rayo luminoso al marcar una unidad de
tiempo ocurre en dirección vertical y coincide, en la
ida más la vuelta, con el doble de la altura del reloj.
Por tanto, se cumple la relación
2L = c·Dt’
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Dibujo 1 |
Dibujo 2 |
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En el SRI, K (Dibujo 2) ese mismo reloj de luz se
desplaza con una velocidad horizontal, v, y el rayo
luminoso realiza un desplazamiento oblicuo para marcar
una unidad de tiempo. El camino recorrido por el haz es: 2a=cDt.
Y el camino recorrido por el reloj es: 2b= vDt. |
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Para relacionar los intervalos de
tiempo,
Dt y
Dt’, usamos el teorema de Pitágoras en el
triángulo de la figura. Después de hacerlo, se obtiene
la llamada ley de dilatación del tiempo: |
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Dt
=
gDt’ |
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Al intervalo de tiempo de un proceso físico, cuyo origen
y final ocurren en la misma posición de un SRI se le
denomina tiempo propio. Al intervalo de tiempo de ese
mismo proceso, obtenido en cualquier otro SRI, para el
cual el origen y final ocurren en dos lugares distintos,
se le denomina tiempo impropio de ese proceso. Por
tanto, la ley de dilatación del tiempo dice que
cualquier intervalo de tiempo impropio de un proceso es
mayor que el correspondiente intervalo de tiempo propio
de ese mismo proceso. |
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El reverso de
la moneda de la ley de dilatación del tiempo es la
denominada ley de contracción de longitudes. Para
deducir esta ley, imaginamos el viaje de una nave, N,
entre la Tierra , T, y un planeta lejano, P. Suponemos
que la separación espacial entre la Tierra y el planeta
se mantiene fija, que el viaje de la nave se realiza a
una determinada velocidad de crucero constante, es
decir, con movimiento rectilíneo y uniforme. |
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En el SRI ligado a la Tierra, el viaje de la nave se
interpreta de acuerdo con lo
que indica el dibujo 1 (izquierda),
según
el
cual, la distancia, LT, entre la Tierra y el
planeta P, es la longitud del viaje que realiza la nave
(a la velocidad v). Es decir:
v = LT/ΔtT
En cambio, el SRI ligado a la nave, se interpreta que
la nave está en reposo y que son la Tierra y el planeta
los que avanzan en sentido opuesto a la misma velocidad
v, tal como se esquematiza en el dibujo 2 (derecha) En
este
SRI, relacionamos la longitud del viaje con esa
velocidad de desplazamiento de la Tierra y el planeta
respecto de la nave:
v = LN/ΔtN
Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta la ley
de dilatación de tiempos,
obtenemos la siguiente relación entre las longitudes del
viaje medidas en cada
SRI:
LT/ΔtT =LN/ΔtN
--->
LT/LN
= ΔtT/ΔtN =
1/γ
Llamamos
longitud propia de
un movimiento
viaje
a la longitud del mismo según el punto de vista de un
SRI en el que las posiciones están en reposo relativo
(en este caso la que
se obtiene en el SRI ligado a la Tierra)
y
longitud impropia de ese mismo movimiento a
la que se obtiene
según el
punto de vista de los viajeros, que se consideran en
reposo
(en
este caso,
en el SRI ligado a la nave).
Por tanto, la
ley que relaciona la longitud propia e impropia es:
LT
=
LN/γ
(ley de contracción de
longitudes)
Es decir, cualquier medida
de la longitud impropia de un movimiento es menor que la
longitud propia de ese mismo movimiento. |
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La dilatación de tiempos y la
contracción de longitudes son dos aspectos del mismo
hecho físico. En el ejemplo que acabamos de usar para deducir
la ley, un observador terrestre interpreta que el viaje
de la nave tiene mayor duración de la que tiene para los
astronautas. Los viajeros interpretan este mismo hecho
como una contracción de la longitud del viaje (que les
permite al planeta llegar antes -según su medida del
tiempo- de lo que llegan según la medida del tiempo de
los observadores terrestres) |
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Para profundizar la idea del
espacio-tiempo y entender mejor otros conceptos derivados de
esta concepción, como la dilatación del
tiempo y la contracción de longitudes, son de mucha utilidad los
diagramas espacio-tiempo de Minkowski. |
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EJERCICIOS SOBRE MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO-TIEMPO |
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| ENUNCIAT |
Solució |
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(4-5
p. 137)
Un coet espacial de longitud L0 marxa amb una
velocitat constant V relativa al sistema K (veure la
figura). La punta del coet, A’, passa pel punt A de K en
l’instant t = t’ = 0 i en aquest instant emet un senyal
des d’A’ fins a B’.
(a)
Quant tarda el senyal de llum, mesurat en
el sistema de referència del coet,
Δt’,
a abastar la cua, B’, de la nau?
(b)
En quin instant, t1, mesurat
des del sistema K, abasta el senyal la cua, B’, de la
nau?
(c)
En quin instant, t2, mesurat
en K, passa la cua de la nau, B’, pel punt A? |
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(4-6
p. 138)
Un coet de 100 m de longitud, que marxa a
β
= 0,6, porta un receptor de radio en la punta. S’emet un
pols de radio des d’una estació espacial en repòs en el
moment en què passa front a aquesta la cua del coet.
(a)
A quina distància de l’estació espacial
es troba la punta del coet en l’instant d’arribada del
senyal de radi a la punta?
(b)
En termes del temps de l’estació
espacial, quin és l’interval de temps entre l’arribada
d’aquest senyal i l’emissió de l’estació?
(c) Quin
és l’interval de temps segons les mesures en el sistema
de referència en repòs en el coet? |
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(4-8,
p. 138)
Un pols de llum és emés des del punt X1 de
l’eix de les X i és absorbit en el punt X2=X1+L.
En un sistema de referència que es mou a una velocitat
V=βc
segons le’xi X:
(a)
Quina és la
separació espacial L’ entre el punt on s’emet la llum i
el punt on s’absorbeix?
(b)
Quant de
temps transcorre entre l’emissió i l’absorció de la
llum? |
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(4-9,
p. 138)
Dos naus espacials, cada una de les quals mesura 100 m
en el sistema propi, es creuen entre sí. Els instruments
de mesura situats en la nau A indiquen que la part de
davant de la nau B triga 5,00·10-6 s a
recórrer tota la longitud A.
(a)
Quina és la
velocitat relativa de totes dues naus?
(b) Un rellotge col·locat en l’extrem
frontal de B indica exactament la una en passar pe
l’extrem frontal d’A. Quina serà la lectura del rellotge
en passar l’extrem posterior d’A?
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(4-10,
p. 138)
Els messons π amb càrrega (pions) són creats en les
col·lisions d’alta energia entre protons i neutrons. Es
desintegra en el sistema propi d’aquests segons la llei
N(t) = N0 2 -t/T
on T és la
vida mitjana i val 2·10-8 s. Es produeix un
núvol de pions en el blanc d’un accelerador, i s’observa
que dues terceres parts d’aquests sobreviuen una
distància de 30 m mesurada a partir del blanc. Quina és
l’energia del pions? |
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(4-11,
p. 139)
Un raig de messons K+ inestables que marxen a
la velocitat c√3/2 passa per davant de dos contadors
separats una distància de 9 m. Les partícules no
experimenten cap perduda enla velocitat ni en l’energia
en passar per davant dels contadors,però proporcionen
polsos elèctrics que poden contar-se. S’observa que
mentre el primer contador indica 1.000 el segon tan sols
250. Suposem que la disminució es conseqüència de la
desintegració de les partícules durant el vol, quin és
el període de semidesintegració en el sistema propi dels
messons? |
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(4-12
p. 139 FRENCH)
A les dotze de migdia un coet espacial passa front a la
Terra amb una velocitat de 0,8 c. Els observadors de la
nau i els de la Terra estan d’acord en què, efectivament
és migdia.
(a)
A les 12:30 pm segons el rellotge situat
a la nau, aquesta passa per davant d’una estació
interplanetària que es troba fixa en relació a la Terra
i els rellotges de la qual indiquen el temps de la
Terra. Quina hora és en la estació?
(b)
A quina distància de la Terra, en
coordenades terrestres, es troba l’estació?
(c)
A les 12:30 pm, hora de la nau,
s’estableix comunicació amb la Terra des de la nau.
Quan, en temps de la Terra, es rep el senyal de la nau?
(d)
L’estació terrestre contesta
immediatament. Quan es rebrà la resposta, hora de la
nau?
És convenient resoldre aquest problema
des del punt de vista de la Terra i del de la nau |
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(4-15
p. 140)
S’emet un pols de llum des d’un punt O, aquest pols és
absorbit posteriorment en un punt P (veure la figura).
En el sistema K, el segment OP té una longitud L i forma
un angle
θ amb l’eix de les
X. En un sistema K’ que es mou a una velocitat constant
V respecte a K dirigida segons l’eix de les X:
(a)
Quin és el temps t’ que transcorre entre
l’emissió i l’absorció de la llum?
(b)
Quina és la separació espacial L’ entre
el punt d’emissió i el punt d’absorció de la llum? |
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(4-16
p. 140)
Una barra d’una longitud pròpia Lo es troba
en repòs en un sistema K’. Està en el pla (X’,Y’) i
forma un angle arcsin(3/5) amb l’eix X’. Si K’ es mou
amb una velocitat constant V paral·lela a l’eix X
d’altre sistema K:
(a)
Quin serà el valor de V si, en K, es
mesura que la barra forma un angle de 45o amb
l’eix X?
(b) Quina és la longitud de la barra
mesurada en K sota aquestes condicions? |
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(5-9
p. 184)
Tres transmissors de ràdio idèntics A, B i C, cada un
dels quals transmet a la freqüència
no
en el respectiu sistema propi, es troben en moviment com
es mostra a la figura següent:
(a) Quina
és la freqüència de les senyals de B que rep C?
(b)
Quina és la freqüència de les senyals d’A
que rep C? |
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(5-12,
p. 185)
Existeix un servei de naus espacial des de la Terra a
Mart. Cada nau està equipada amb dues llums idèntiques,
una davant i una altra al darrere. Les naus marxen
normalment a una velocitat Vo relativa a la
Terra, de forma que el far davanter de la nau espacial
que es dirigeix cap a la Terra aparenta ser verd (λ
= 500 nm) i la llum de la cua d’una nau que s’enlaira
aparenta ser roja (λ
= 600 nm).
(a)
Quin és el valor de
β?
Una nau espacial accelera per a avançar a
una altra nau que marxa per davant d’ella. A quina
velocitat haurà de marxar la naur primera (respecte de
la Terra) per a que la llum de la cua de la nau que es
dirigeix cap a Mart per davant d’ella semble un far
davanter (500 nm)? |
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(5-15
p. 186)
Algunes observacions efectuades sobre un objecte
estel·lar, quàsar 3C-9, fan pensar que, quan emeté la
llum que just acaba d’arribar a la Terra, estava e
moviment i allunyant-se de la Terra a una velocitat de
0,8c.
(a)
Una de les línies identificades de
l’espectre d’aquest quàsar té una longitud d’ona de 120
nm quan s’emet des d’una font estacionària. En
l’espectre del quàsar observat a la Terra, a quina
longitud d’ona correspon?
(b)
Els quàsars emeten energia a una
velocitat tan gran que els astrònoms creuen que han de
cremar-se per complet en un temps relativament curt. Si
el temps de vida del 3C-9 se suposa que és de 106
anys mesurats en el sistema en repòs del quàsar,
determina l’interval de temps terrestre durant el qual
es rep radiació del 3C-9 a la Terra. (Se suposa que la
velocitat relativa a la Terra roman constant). |
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(5-16
p. 186)
Una línia corresponent al calci en l’espectre de
l’estrella
a Centauri té una longitud d’ona de 396,820 nm; la mateixa
línia en l’espectre solar té una longitud d’ona que és
de 396,849 nm.
(a)
Quina és la velocitat radial de
a
Centauri relativa al sistema solar? S’apropa o
s’allunya?
(b)
La velocitat transversal de
a
Centauri és pràcticament igual a la velocitat radial
d’aquesta; la distància al Sol és de 4,3 anys llua
Centauri després de 10 anys.
(c) Quina
velocitat transversal respecte de la visual haurien de
tenir els ions de calci de forma que la llum amb
longitud d’ona normal de 396,849 nm variara en 0,029 nm?
Es podria distingir la llum de la que es rep procedint
de
a
Centauri. |
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(5-20,
p. 188)
A i B són bessons. A marxa cap a
a-Centauri,
a una distància de quatre anys llum, i retorna després a
la Terra. En tots dos trajectes la velocitat respecte de
la Terra és de 0,6c i transmet un senyal de radio cada
0,01 d’any en el seu sistema. El seu germà bessó B emet
de forma semblant un senyal cada 0,01 anys respecte del
seu sistema en repòs.
a)
Quants senyals de les emeses per A, abans
d’iniciar el retorn, rep B?
b)
Quants senyals rep A abans d’iniciar el
retorn?
c) Quin
és el nombre total de senyals que rep cada bessó
provenint de l’altre?
Quin és ,és jove al final del viatge?
Quant més jove? |
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Los enunciados de todos los problemas proceden del libro de
A.P. French, Relatividad especial (Reverté;
Barcelona) |
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